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第163夜 以有限为无限（第4页）

布鲁内托为什么不直接说地球像个橘子呢？

请思考：假如有只蚂蚁在橘子上爬，到某个点时它会发现自己上下颠倒，必须用腿上的小吸盘吸住橘子，以免掉下去。

然而地球上的旅行者从来不会发现自己上下颠倒，腿上也无须那样的吸盘。

布鲁内托的描述并没有看起来那么古怪。

现在来想一下。

如果有个人从老师那儿学到，我们星球表面的形状是这样的：一直沿直线走，最终会回到出发点，那么进行下一步也许不会太困难，可以想象下整个宇宙的形状也是如此：一直沿直线飞，我们最终会回到出发点。

三维球面就是这样的空间：两个长翅膀的骑士朝相反的方向飞走，最终会在另一端相遇。

用术语来说，布鲁内托在《珍宝之书》中提出的地球几何的描述是从内在几何学的角度（从内部看），而非外在几何学（从外部看），而这恰恰是把球面概念从二维推广到三维时最适合的描述方式。

描述三维球面的最佳方式不是尝试“从外部看”

，而是去描述在内部运动时会发生什么。

高斯提出的描绘曲面的方法，以及由黎曼推广的描绘三维或更高维空间曲率的方法，实际上都是布鲁内托·拉蒂尼的方式。

也就是说，这个想法不是要以“从外面看”

的视角来描绘弯曲的空间，说明它在外部空间如何弯曲，而是要从一个在这个空间内部运动的人的视角来描述。

例如，布鲁内托观察到，在普通球体的球面上，一切沿“直线”

的运动在走过相同的距离（赤道的长度）后都会回到起点。

三维球面就是具有同样属性的三维空间。

爱因斯坦的时空并不是外部空间意义上的弯曲，它指的是内部几何上的弯曲，换句话说，从内部观察到的两点之间的距离，不遵循平直空间的几何学。

在这个空间里，毕达哥拉斯定理并不成立，正如毕达哥拉斯定理在地球表面不成立一样。

有一种方法能让我们从内部理解空间曲率，无须从外部去看，这对后面要讲的内容很重要。

想象你处在北极点，一直向南走到赤道，随身携带一个指向前方的箭头。

一到赤道，你就向左转，但不改变箭头的方向。

箭头仍然指向南，现在位于你的右手边。

沿着赤道向东前进一些，再转向朝北——仍然不改变箭头的方向，现在指向你身后。

当你又到达北极点后，就完成了一个闭合回路——术语称为“圈”

——箭头不再指向你出发时的方向。

在完成回路的过程中，通过箭头改变的角度可以测算出曲率。

后面我会在空间中绘制一个圈，再来谈这种测量曲率的方法。

这就是使圈量子引力得名的“圈”

。

但丁在1301年离开佛罗伦萨，当时洗礼堂圆屋顶上的镶嵌图案快要完工。

描绘地狱的镶嵌图也许在中世纪的人眼里很恐怖，可对但丁来说一直是灵感的源泉。