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第五百九十七章 扎里斯基拓扑概型（第2页）

换句话说，我们幂级数展开f（x，y）=ax+by+cx^2+dxy+ey^2+高次项，如果a和b不全为零，那么该原点就称为C的光滑点，否则就称为奇点。

一个带有奇点的平面曲线C必定是某个射影空间中的光滑曲线C到射影平面的投影。

找出这样的光滑曲线C的过程，称为C的奇点解消或者正规化。

曲线奇点有很一些有趣的不变量来刻画，比如它的重数（就是泰勒展开式中最低项的次数），局部分支数，几何亏格，Milnor数等等。

这些不变量之间有着一定的联系，对它们的研究属于奇点拓扑这一分支。

扎里斯基对莱夫谢茨说：“我听了你的代数几何的拓扑问题后，想到让方程的拓扑学体现出来，就可以从代数簇中直接进行。

代数簇的思想，不就是所有的方程本来都是多项式，而多项式仅仅有加法和乘法。

就相当于是代数簇在做很多加和乘的运算来组成各种曲线，那么就是环的作用而形成曲线。

代数几何的问题也就是交换环的理想的问题。”

莱夫谢茨说：“那你要是研究方程的拓扑性质，就从环这个结构开始就行了。”

扎里斯基知道这些方程不需要在坐标系里定位，所以用了仿射空间，或者叫线性空间，只需要表示他们的形状就行。

仿射空间，又称线性流形，是数学中的几何结构。

这种结构是一种特殊的线性空间，是欧式空间的仿射特性的推广。

在仿射空间中，点与点之间做差可以得到向量，点与向量做加法将得到另一个点，但是点与点之间不可以做加法。

然后扎里斯基的工作就是把这些方程变成拓扑结构了。

在一九二七至一九三七年间，扎里斯基给出了关于曲线C的经典的黎曼-罗赫定理的拓扑证明，在这个证明中他引进了曲线C的n重对称积C（n）来研究C上度数为n的除子的线性系统。

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在三十年代，扎里斯基把克鲁尔的广义赋值论应用到代数几何，特别是双有理变换上，他是从这方面来奠定代数几何的基础，并且作出了实质性的贡献。

扎里斯基和其他的数学家在这方面的工作，大大扩展了代数几何的领域：首先，由复数域到一般域；其次，由代数曲线、曲面推广到一般代数簇，定义是完全内蕴的，也就是抛掉装着代数簇的外围空间。

他还证明了下述扎里斯基主要定理：“如果双有理对应在正规定p外不是正则的，那么p的像的各个分支的维数大于等于一。”

由此阐明了双有理对应的性质。

对于奇点解消问题，即射影空间中任意不可约代数簇都能够双有理地变换为射影空间内的不带奇点的代数簇，在特征为零及维数小于等于三时，他给出了证明。

一九四四年，他又证明了特征为〇的域上三维代数簇的奇点可以解消。

域k上的不可约代数簇V，如果它的函数域上k上是纯绍越的，就称为一个有理簇。

扎里斯基给出了判别代数闭域上的完备光滑曲面S是有理的一个充分必要准则。

这个重要准则，现在称为卡斯泰尔诺沃-扎里斯基判别准则。

关于代数曲面，扎里斯基还严格地证明了卡斯泰尔诺沃的定理：设L为代数闭域k上两变量有理函数域k（x，y）的子域且包含k，如果k（x，y）在L上为可分代数的，那么L是k上的二元有理函数域。

在代数曲面的理论中，寻求与给定的代数曲面双有理等价的非奇异代数曲面的问题，是这个领域中最基本的问题之一，扎里斯基在特征为〇的域上给出了基于赋值论的纯代数的证明。

关于代数曲面的分类，扎里斯基和其他数学家给出了完整的结果。