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第四百九十九章 kam定理非线性力学（第2页）

阿诺德说：“有什么好的办法码？”

Moser说：“用牛顿迭代的办法了。

就是找一系列的典则变换，不破坏哈密顿方程的式，一步步地变换近可积的系统使之越来越靠近一个可积系统，只要对参数的大部分点能做到就行。

由于在迭代过程中会出现所谓的“小分母”

，用通常的牛顿迭代法无法保证最终无穷多步变换的复合收敛，但利用改进的牛顿迭代方法克服了小分母带来的麻烦，从而完成了定理的证明。”

阿诺德说：“这个办法不错。”

Moser说：“Sigel也对这个工作感兴趣，他在考虑圆周映射的线性化时，也曾提出过类似的证明思想，我在降低该理论对可微性的要求上又作出了一些重要的工作。”

后来，JohnNash在他证明有关黎曼嵌入的论文中，也用到了类似的迭代方法（当然是独立完成，甚至可能早于Moser），于是，后人又把他们的证明方法叫做Nash-Moser迭代。

阿诺德说：“曾经的遍历性假设是猜测：通有的哈密顿系统，相流是遍历的。

如果按照我的理论，遍历性假设不攻自破？由于可积系统不是通有的系统，一般的系统都是不可积的，因此由相流不遍历的可积系统并不能否定遍历性假设，但是我们知道近可积系统却是通有的。

如果我们考虑4维的相空间，其等能面是三维的，如果该近可积的系统有不变二维环面存在，则此环面必将能量面的其余部分分割为不连通的两块，相流不可能从环面一边跑道另一边，所以也就不会有何遍历性可言。”

Moser笑说：“不知道当年Fermi是怎么证明了遍历性假设的。

不过据说他开密码锁也是一把好手。”

Fermi当年的工作恰恰发现了不遍历性。

说的是他搞了一批耦合谐振子，原来觉得能量可以自由的在自由度之间流动，最终达到玻尔兹曼分布。

结果后来发现根据初始条件不同，能量卡在若干个自由度之间来回变，永远不会达到玻尔兹曼分布。

验证了动力系统中，遍历性假设不是先天靠谱的。

阿诺德说：“我在想，共振环面破裂后到底会怎样？”

Moser说：“这个问题仍没有完全解决。

目前大家都比较清楚的是：一般会有较低维数的环面存在，分椭圆环面，双曲环面等，，也就是说仍然还有比较规则的相曲线；同时还会有一些很不规则的轨线，有人称之为Mather集；甚至还有所谓的“马蹄”

。”

KAM理论，不仅是Kolmogorov定理本身，还包括为证明该定理所发展的一系列方法，该理论诞生至今虽已近半个世纪，但仍在不断的发展和完善中。

它所应用的范围也不仅限于哈密顿系统，对于可逆系统，保体积映射，以及无穷维哈密顿系统（包括一些特殊的偏微分方程）都发展出了相应的KAM理论。

甚至可以说，凡是有小分母出现的地方，就是KAM大显身手之处。

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